73 Z^s+0.5,s=2→3の変容の動画

Z^s+0.5,s=2→3 の場合の静止画像は記事71で示した。

その変容は 2 個のモノが 3 個のモノへと変容していった。

この変容を動画にして見たら、どのように見えるだろうか、という興味をもとに
動画を作ってみた。

その動画→Z^s+0.5,s=2→3

これは或る種の細胞分裂にも見える。

放散虫:Z^2+0.5 から 放散虫:Z^3+0.5 への「細胞分裂」とでも表現できるだろう。

72 Z^s+0.5,s=1→2の変容の動画

1という数字は(0を除いて考えると)自然数の最初の値であり、その意味で『ものの始まり』
に対応している。

自然数のその次の数は 2 であるが、1 から 2 へと変化するとき、Z^s+0.5画像は
どのように変化するだろうか。静止画像については前記事71で見た。

そこでは「内臓部」が二つに「分裂」していった。
その変容の様子を動画にしてみたら、どのように見えるだろうか？

そのような興味のもとに動画を作った。→Z^1+0.5→Z^2+0.5

***

この様子は例えれば、此の動画は、1 という何もない原始の混沌の世界から何ものかへと
形が形成していく様子の数学的表現だと言えそうだ。

例えば母親の胎内で胎児が形成されていく様子を連想させる。

この動画は此の世の 『ものの始まり』 とか 『ものがたりの始まり』とかの
数学的表現だと私は見ている。

71 Z^s+C画像の胎動と生成 1

s が正整数ときは、Z^s+C (Cは定数)の画像は、s 個の同じ形状の画像に分割される。

では、s が整数でないとき、特に、s=１→２へ変化するとき其の場合のZ^s+Cの画像は、どのように変化していくのだろうか？

そういう疑問のもとに、s を少しずつ変化させたときの、Z^s+C 画像の変化を調べたのが、此の記事である。

それを調べた結果は下図で示すように或る整数：s の画像から、整数：s+1の画像へ移るとき、整然と s 分割された画像は少しずつ歪みながら分裂していき、整然と s+1 分割された画像に移っていく姿だった。

 特に興味深いのは、s =１→２の場合で此れは『何か混沌のようなもの』から始まり、あたかも母体の中の胎児のように『なにものか』へ変わっていく様子だった。

これらの画像に見られる『画像の形態の分裂の様子』は恐らく此の現実の世界の何処かにも実在しているに違いない。

なぜならば此れら画像は、単純とはいえ、決してデタラメなものではなく数学的に厳密な規則のもとで描かれているからだ。

もし我々の周りの現実の世界が数学的な規則に従っていると仮定するならば･･･その仮定の正しさは既に常識だと思われますが･･･これら画像も、幼稚ではあるにせよ此の現実世界の何かの現象への、何かの示唆・暗示であると私は思うからだ。

ガリレオは、『自然の書物は数学という言葉によって書かれている』と言ったそうだ。

だからといって此の世の実在の全てが数学という言語で説明し得る、というわけでは勿論ないだろう。

しかし数学的実在は此の世の実在物(の或る一面への)暗示・示唆であるとは言えるのではないだろうか？

ともあれ『何か予感めいたモノから何かが徐々に胎動し生成していく』

これが以下の画像集の主題である。以下の画像の上に s の変化を書いておく。

また最後の画像の作成条件及びﾌﾟﾛｸﾞﾗﾑは最後に書いておく。

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また最後の画像の作成条件及びﾌﾟﾛｸﾞﾗﾑは以下のとおり。

1.複素関数：Z^s+0.5,s=1, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2

2.N-loop脱出条件：X^2+Y^2>100 ならば脱出する。Nmax=50

 3.N-loop脱出後のpset条件：(|X|<10 or |Y|<10)　ならばpsetする。

N-loop脱出ときのN値をNoとすると、psetの色:CはC=No mod 16 とする。

***

BASIC/98での画像作成ﾌﾟﾛｸﾞﾗﾑ。

10 REM Z^S+0.5:6種類表示

40 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\ARCTAN3.BAS",50,ALL

 90 CONSOLE ,,0,1

 100 COLOR 0,7,,,2

 110 CLS 3

 140 FOR RR=0 TO 5

 150 R1=INT(RR/3)

 160 R2=RR-3*R1

 170 D1=215*R2

 180 D2=242*R1

 190 ON RR+1 GOSUB 510,520,530,540,550,560

 210 XS=-2 :XE=2 :YS=XS*(238/210)

 220 D=(XE-XS)/210

 240 FOR J=0 TO 238

 250 LOCATE 0,0:PRINT J

 260 FOR K=0 TO 210

 270 X=XS+D*K

 280 Y=YS+D*J

 290 FOR N=0 TO 50

 300 R=SQR(X^2+Y^2)

 310 GOSUB 5000

 330 X=(R^S)*COS(S*TH)+0.5

 340 Y=(R^S)*SIN(S*TH)

 350 Q=X^2+Y^2

 360 IF Q>100 THEN 400

 370 NEXT N

 380 C=15

 390 GOTO 430

 400 IF ABS(X)<10 OR ABS(Y)<10 THEN 410 ELSE 460

 410 C=N MOD 16

 420 IF C=7 THEN C=8

 430 REM

 440 PSET(K+D1,J+D2),C

 460 NEXT K

 470 NEXT J

 480 NEXT RR

 490 CLOSE

 500 END

 510 S=1 :RETURN

 520 S=1.2:RETURN

 530 S=1.4:RETURN

 540 S=1.6 :RETURN

 550 S=1.8:RETURN

 560 S=2:RETURN

70 e^sinZ 画像

下図は e^sinZ 画像と其の画像の中の 8 箇所の部分の拡大画像である。

画像作成条件は最後に書いておく。

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画像作成条件：

・『複素関数は e^sin Z +0.5』

・『N-loopを脱出するのは、Q=tanX*tanYとしたとき、もし、( |Q|>100 or　 Q|<0.01 ) ならば脱出する』

・『N-loop脱出後、もし、(|X|<10 or |Y|<10)ならばpsetする』

・最初の画像のN-loop の入力値(Xi,Yi)が 0<=Xi<=3π, |Yi|<=1.1π

69 放散虫：sinZ+Z^2+0.5画像のﾌﾗｸﾀﾙ性について

1.図　放散虫：sinZ+Z^2+0.5画像の中の3 箇所を拡大する

2.図　1図の 1 の拡大画像

3.図　1図の 2 の拡大画像

4.図　1図の 3 の拡大画像

***
3.図について。

この画像は 3 段の同形の重層構造となっている。特に興味深いのは此の画像の右側の上下の目玉のような部分には此の画像の中央部の画像の歪んだコピーが居る。そして此の画像にはＷ型の「つばめ」も居る。かなり複雑なフラクタル構造画像である。

20 放散虫：sinZ+Z^2+0.5画像

個性的な放散虫に sinZ+Z^2+0.5 がある。

この虫の特徴はＷ型の「つばめ」みたいなモノを随えていることである。

この虫を徐々に接近して見てみよう。

19 放散虫：Z^3+0.5画像の変形化4 (円錐化)

1.図の円形状の放散虫:Z^3+0.5を円錐形に変形させて、それを東西南北から眺めたらどのような画像になるだろうか？

1.図　円形状の放散虫:Z^3+0.5の画像

***   

以下の画像が東西南北から眺めてみた画像である。

18 放散虫：Z^3+0.5画像の変形化3 (球面化2)

球面状の放散虫:Z^3+0.5を真上及び真下から見た画像はどうなるだろうか？

以下が其れらの画像である。

17 放散虫：Z^3+0.5画像の変形化2 (球面化1)

1.図に示す円形型の放散虫：Z^3+0.5画像を球面化し、その画像を東西南北から眺めたら、どんな画像になるだろうか？　それらの画像を2.～5.図に以下に示す。

1.図

2.図　球面型の放散虫を東側から見た画像

3.図　球面型の放散虫を南側から見た画像

4.図　球面型の放散虫を西側から見た画像

5.図　球面型の放散虫を北側から見た画像

***

また此の球面化した画像を2分割したら、どんな画像になるだろうか？

それらの画像を数に示す。

16 放散虫：Z^3+0.5画像の変形化1 (俯瞰図)

放散虫：Z^3+0.5画像の変形を行う。

この虫のいろいろな見方があって･･･あたかも現実の虫の姿が変容するようで・・・面白い。先ず此の虫が円錐形に「変容した」場合の俯瞰図が以下の画像である。

15 放散虫：Z^3+0.5画像の規則性と不規則性の混在について(その2)

前回の記事14では、N-loop脱出時のX,Yを別々に調べてきたか゛今回は点(X,Y)の挙動を調べてみる。

補足：以下の図1の画像の作成プログラムは記事4の方法2である。複素平面上の点(R,θ)が画像の表示条件を満足したとき、その点(R,θ)を所定の色で表示している。N-loopの脱出後の(X,Y)を表示しているのでない。ここらへんが混乱しやすいの要注意。)

調べる箇所は、「内臓」部の一部であるR=0.65のところでRを固定し、θを20度から30度に変化させて、その場合のN-loop脱出時の点(X,Y)の軌跡を調べる。その結果が2.図である。

上図から分かるように、「内臓」部では、N-loopの入力点(R,θ)に対応した、N-loopの出力点(X,Y)の軌跡が複雑に飛び回るために、その結果として、放散虫：Z^3+0.5の「内臓」部の画像も複雑になっている。

次に、「触手」部であるR=1.3のところでRを固定し、θを0度から60度に変化させた場合の、N-loop脱出時の点(X,Y)の軌跡を3.図に示す。

14 放散虫：Z^3+0.5画像の規則性と不規則性の混在について

放散虫：Z^3+0.5の画像構造を少し定量的的に調べてみる。

記事6で示したように、Z^n+C 画像(但し、n=正整数,C=実定数)は、n 個の全く同一な画像から構成される。従って此の画像を解析する場合、n 個の中の 1 個の部分のみ解析すれば画像全体の構造が分かる。

1.図はZ^3+0.5画像を極座標表示した場合の、θ=0～(2/3)/π までの 1/3 部分である。この部分のみ解析すれば其の結果は全体画像にも言えることになる。

(注：画像の色が今まで記事と異なるのは、N-loop を1→Nmax したためで･･･今迄の画像は 0→Nmaxとしていた･･･あって本質的には今迄画像と同一である。)

1図

2図

2.図はRを0→9 変化させたときの、N-loop脱出時のXとYの変化を示した図である。

(補足：1.画像は、複素平面上の点(R,θ)が画像の表示条件を満足したとき、その点(R,θ)を所定の色で表示している。N-loopの脱出後の(X,Y)を表示しているのでない。ここらへんが混乱しやすいの要注意。)

1.図と見比べてみると分かることだが、規則的な箇所は“放散虫：Z^3+0.5”の「触手」部分であり、不規則的な箇所は「内臓」部分だ。

 放散虫：Z^3+0.5の「内臓」部分の画像の複雑さは、XとYの変化の不規則性に依っている。そして放散虫：Z^3+0.5”の「触手」部分の画像の単純さは、XとYの変化の規則性に依っているのだ。R=0～1部分のみを横軸に拡大してみた図が次の3.図である。

3図

3.図は、1.図のRを0→1まで (つまりに「内臓」部での) N-loop脱出時のXとYの変化を示した図である。

(補足：1.画像は、複素平面上の点(R,θ)が画像の表示条件を満足したとき、その点(R,θ)を所定の色で表示している。N-loopの脱出後の(X,Y)を表示しているのでない。ここらへんが混乱しやすいの要注意。)

 3図の「内臓」部分でもXとYの規則性と不規則性の混在が見られるが不規則な変化が目立つ。

 横軸方向(R方向)のXとYの波形の不連続性は、これらの画像の分解能の不足に拠るものもあると思われるが、画像の感じから言って此れらの画像の不規則な変化は一種のカオス状態になっていることにも拠ると思われる。

 この放散虫：Z^3+0.5画像の面白さの要因は、このブログで紹介している他の画像もそうだが此の不規則性と規則性の混在にある、と言えると思われる。