2016年1月27日水曜日

695 画像掲載の終了にあたって

今(2015-1現在)から約30年前、在職中にインタープリターBASIC言語を私は覚えさせられた。

当時、たまたま見た科学雑誌に掲載されていた『PCで作る"放散虫”』の記事に私は大変、興味を覚えた。

その記事は本ブログの001記事に書いた、数学者:クリフォード・A・ピックオーバーの論文の簡単な紹介であった。

その論文の概要は、その後、『コンピューター・カオス・フラクタル-見えない世界のグラフィクス-』(クリフォード・A・ピックオーバー著、白揚社)という本の中で紹介されている。

私は、この本を購入する以前より、上記した科学雑誌の記事に基づいて、"放散虫"作り遊びを開始した。

その記事には、インタープリターBASICによる、"放散虫"作りプログラムが簡単に紹介されていたから、私でも其の遊びが可能だった。当時は東芝・パソピ゜アで此の絵作り遊びを開始したものだ。

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その後、上記した本を買い、自分なりに其の絵作り遊びを続けた。

科学雑誌に掲載された"放散虫"は、複素関数がZ^3+0.5という単純なモノだったが、私は複素関数を更に拡張させていった。また画像の作成条件も拡張させていった。

爾来、約30年、私は此の絵作り遊びを続けた。

それは、まさに、クリフォード・A・ピックオーバーが上記の本で書いてあるとおりの楽しさだった。

その楽しさとは、001記事でも紹介したが、このブログの最後に再び、クリフォード・A・ピックオーバーの言葉を以下に引用しておこう。

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『私はときどき自分を釣り師になぞらえてみる。コンピューター・プログラムとアイデアは釣り針であり、リールである。コンピューターで描きあげた絵はトロフィーであり、うまいご馳走である。釣り師には、何が釣れるかがいつもわかっているわけではない。しかし、どこがよく釣れるか、どの流れに魚がたまっているか、などについての知識はもっているだろう。しばしばびっくりするほどの大物が釣れるが、これこそまさに釣りの醍醐味である。しかし保証はない。そのかわり予期しない楽しみもある。読者もぜひ未知の釣り場で実際に糸を垂れてほしい。できれば釣りあげた獲物を観賞し更に其れを解剖し内部の構造を調べてほしい。』

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このブログでの私の絵作り遊びは、私のネタ切れで終了するが、このブログを見た誰かが、ピックオーバーの書いているような遊びの精神で、このような絵作りに挑戦することを私は期待したい。私の知らない世界が未だ未だあるに違いないからである。

2016年1月26日火曜日

694 力学系:f(x)={x^6+(sin(3x)^4}の場合の軌跡の濃度分布

下図は、 関数:f(x)={x^6+(sin(3x)^4}の場合の軌跡の濃度分布画像である。
(此の記事の画像の説明及び各パラメーターの説明は記事655参照。)

位相平面の各座標の軌跡通過数を m としたとき、

(a)色:C=m mod 16
(b)色:C=log(m) mod 16

を比較する。

(a)の場合の m 色コード:Cの順序どおりになる。
但し、m=0の場合はプログラムで白としており、C=7(白)の場合は C=8(灰)としている。
mod を使用しているから、m は16進で変化する。

(b)の場合はm=e^C だから、アルバム500の17より、
C=0(黒)ならば m=e^0.5=1
C=1(青)ならば m=e^0.5~1.5=1~4
C=2(赤)ならば m=e^1.5~2.5=4~12
C=3(橙)ならば m=e^2.5~3.5=12~33
C=4(緑)ならば m=e^3.5~4.5=33~90
C=5(青)ならば m=e^4.5~5.5=90~247
C=6(黄)ならば m=e^5.5~6.5=247~665
C=8(灰)ならば m=e^6.5~8.5=665~4915

となる。但し、m=0 の場合は白としている。

以下に示す(b)の画像の色から分かるように、m は 16 以上となっており、
C=0~15が16進で表示されるため結果として画像の色が混濁してしまい、画像の色構造が不鮮明となってしまっている。

(b)の画像では、log 効果により色が整理され、その結果、画像の色構造(即ち、軌跡の通過濃度分布構造)が判然としてくる。

以下に(a)(b)を対比した画像を示す。

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2016年1月25日月曜日

693 力学系:f(x)=sin(x+sinh(x))の場合の近接した始点の軌跡

今回の関数は、f(x)=sin{x+sinh(x)}
について調べる。

今回は始点が、px表示で、以下の3つの近接点の軌跡の挙動を調べる。
①(120,120),(121,121)
②(242,240),(243,240)
③(242,240),(244,240)

詳細なパラメーター値は各画像に書いてある。

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2


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2016年1月24日日曜日

692 力学系:f(x)=sin(x+sin(3x+sin(2x)))の場合の軌跡分布画像

今回画像の関数は、f(x)=sin(x+sin(3x+sin(2x))) とする。


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2016年1月23日土曜日

691 力学系:チェビシェフ関数の軌跡濃度分布画像

チェビシエフ関数は、Tn(x)=cos(n(cos(x))^-1) として定義されるが、n=3の場合の此の関数は、
T(3)=4x^3-3x となる。(『コンピューター、カオス、フラクタル』(C.Aピックオーバー著、白揚社)、p.379)


そこで、関数:f(x)=sin(T(3)) の軌跡濃度画像を求めてみる。
各パラメータは下図に書いてある。

D=480,Tmax=500,L=3,H=0.05の画像構造は、記事685のf(x)=sin{x+sinh(x)}
D=150,Tmax=500,L=3,H=0.5の画像構造と似ているしている。

其れは、f(x)=sin(T(3)) とf(x)=sin{x+sinh(x)} が近似しているためであろう。

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参考: f(x)=sin(x+sinh(x)), D=150,Tmax=500, L=3 画像 


2016年1月22日金曜日

690 力学系:任意の始点での関数:f(x)=sin{x+sinh(x)の軌跡(その2)

記事686では、Tmax=500の場合の (x(t),y(t)について調べた。
今回はTmax=50,000の場合の軌跡を調べる。
任意の5個の始点をマウスで与えたときの軌跡について調べる。

マウスで与えた始点は赤色の×で示し、軌跡の時間変化は色で表示している。
具体的パラメータの値は下図に示した。

Tmax=500同様にTmax=50,000の場合も軌跡の形は始点の座標によって全く異なっている。
また軌跡の形はブラウン運動のようにランダムに移動する場合もあり、軌跡の形態は極めて複雑である。要するに Tmax=50,000でも軌跡の形態は本質的変化は見られない。

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1                      

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2016年1月21日木曜日

689 力学系:f(x)=sin(x^2+sin(3x)),D=480,Tmax=150,L=1軌跡濃度画像

今回の画像は、 f(x)=sin(x^2+sin(3x)),D=480,Tmax=150,L=1,
表示範囲は|x(t)|<=2π,|y(t)|<=2π
の軌跡濃度画像である。

画像表示範囲は、480×480 ピクセルだから、
始点が全ピクセルでの軌跡の濃度画像である。

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2016年1月20日水曜日

688 力学系:その他のいろいろな関数の濃度分布画像

いままで調べてきた関数は以下のものである。(D,Tmax,Lの区別は別とする)

f(x)=sin(x+sin(3x))
f(x)=sin(x^2+sin(3x))
f(x)=sin(x+tan(3x))
f(x)=sin(x+sin(x)sin(3x))
f(x)=sin(x+sinh(x))

今回の記事は以下の関数の濃度分布画像を求める。
但し、表示範囲は|x(t)|<=20,|y(t)|<=20
及びパラメーターは、D=50,Tmax=50,H=0.1,L=1とする。

f(x)=sin(x+log|x|)
f(x)=sin(x+e^x)
f(x)=sin(log|x|)
f(x)=sin(x+sin(3x+sin(2x)))

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これらの4つの関数の画像を以下の色表示で示す。

(a)色:C=log(m) mod 16,但しC=7→8,m=0→非表示
(b)色:C=m mod 16,但しC=7→8,m=0→非表示

ここで、m は座標点を通過する軌跡の数である。

また、色表示(a)の場合のmは以下のとおりとなる。
m=e^C だから、
C=0(黒)ならば m=e^0.5=1
C=1(青)ならば m=e^0.5~1.5=1~4
C=2(赤)ならば m=e^1.5~2.5=4~12
C=3(橙)ならば m=e^2.5~3.5=12~33
C=4(緑)ならば m=e^3.5~4.5=33~90
C=5(青)ならば m=e^4.5~5.5=90~247
C=6(黄)ならば m=e^5.5~6.5=247~665
C=8(灰)ならば m=e^6.5~8.5=665~4915
となる。但し、m=0 の場合は白としている。

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2016年1月19日火曜日

687 力学系:関数:f(x)=sin{x+sinh(x)}の場合の軌跡の濃度画像(その2)

今回画像の関数は、f(x)=sin{x+sinh(x)} とする。注:ハイパボリック・サインであることに注意。
画像の構造は今迄の使用した関数とは全く違ってしまう。

このような力学サイクル系離散時間位相平面について解説は記事655を参照。
ここで記事655の(3)式で、sin(ρx)を sinh(x) に変えた。
その理由は特になく、このようにしたら画像はどうなるか?という興味だけである。

今回の画像は、始点が画像表示画面の全てのピクセル(480×480)の画像である。


位相平面の各座標の軌跡通過数を m としたとき、


色:C=log(m) mod 16

で表示している。log表示により位相平面の軌跡濃度が単純化され、濃度構造が分かり易くなる。

m=e^C だから、
C=0(黒)ならば m=e^0.5=1
C=1(青)ならば m=e^0.5~1.5=1~4
C=2(赤)ならば m=e^1.5~2.5=4~12
C=3(橙)ならば m=e^2.5~3.5=12~33
C=4(緑)ならば m=e^3.5~4.5=33~90
C=5(青)ならば m=e^4.5~5.5=90~247
C=6(黄)ならば m=e^5.5~6.5=247~665
C=8(灰)ならば m=e^6.5~8.5=665~4915
となる。但し、m=0 の場合は白としている。

下図から分かるように軌跡濃度は極めて美しい秩序構造を形成している。


2016年1月18日月曜日

686 力学系:任意の始点での関数:f(x)=sin{x+sinh(x)の軌跡(その1)

力学サイクル系離散的時間位相平面については、記事655に解説しているが、
任意の始点をマウスで与えたときの軌跡について調べる。

マウスで与えた始点は赤色の×で示し、軌跡の時間変化は色で表示している。
具体的パラメータの値は下図に示した。

下図から分かるように、軌跡の形は始点の座標によって全く異なっている。また軌跡の形はブラウン運動のようにランダムに移動する場合もあり、軌跡の形態は極めて複雑である。

前記事561の最初の図形(D=50,TMAX=50,L=1,H=0.1の画像)の中央以外の部分の軌跡濃度のランダム性は各始点での軌跡のランダム性に異存しているのであろう。また此の濃度画像の中心部近辺の濃度画像は明確な或る種の規則性と秩序があり・・・その濃度構造が面白いのだが・・・
その規則性と秩序は、その部分の始点の軌跡に規則性と秩序が存在していることを暗示している。
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8

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