2015年5月28日木曜日

446 ジュリィア集合での点列濃度(その1)及び解説

或る与えられた複素平面領域 D の点をZsとする。また任意の複素定数をZmとする。
D の領域は実軸は -1.5~1.5 、虚軸は -1.1~1.1 とする。
ここで、Zsを始点とする再帰点列:Z←Z^2+Zmを考えると次の点列が得られる。

Z0,Z1,Z2,Z3,・・・,ZN,・・・  ・・・(1)

ここで、Z0=Zs^2+Zm ,Z1=Z0^2+Zm,・・・・である。

今、この点列の数の上限を設け其れをNmaxとする。

Nmax以下の或るNoで、|ZNo|>2の場合、点列は発散すると定義する。

また、Nmax以下の如何なるNでも|ZN|<=2の場合は、点列は収束した(or N-loopを貫通した)と
言うことにする。

***
今、複素平面領域:D 内の全ての点Zsについて、点列(1)を求める。
その場合、点列(1)が収束する点Zsの集合をジュリニア集合ということにする。

此の集合の点列(1)は複素定数Zmで変わる。換言すれば、ジュリニア集合の複素平面上の画像は
複素定数Zmによって変化する。

***
さて、ジュリニア集合の要素:Zsにおいて、

点列:Z0,Z1,Z2,Z3,・・・,ZNmax ・・・(2)
は複素平面上の軌跡を描く。

今、複素平面領域:D を、640×480の格子座標とすれば、その軌跡は、その格子座標点を動く。

ここで、ジュリニア集合の全ての要素:Zsにおいて、全軌跡を求めれば、
点列:Z0,Z1,Z2,Z3,・・・,ZNmaxの各点の数を求められる。各点の数を m とし、それを画像化
すれば、点列(2)の軌跡は、どの座標点を通過したかの程度が m で表せる。
言わば、点列(2)の軌跡濃度を m で画像化できる。

***
mの大きさは色Cで表すことにする。BASIC/98では16色しか使えない。以下の図で示すように、
m は16以上となる座標点が存在する。この場合、C=n MOD 16 として、n を16進表示してもよいが、画像領域:D での m の大小の情報は失われる。

ここでは、D においての n の大小の分布を見たいので、n をLOG圧縮する。
即ち、色コードC=LOG(n)とする。この場合、n=e^Cとなる。