ここで、n=2,3,4 の場合の画像を求める。画像作成の他の条件は、X^2+Y^2＞100 のとき、N-loop脱出。
(|X|＜10 or |Y|<＜0)のとき、pset。
|Xi|＜0.5π,|Yi|＜0.34π。
以下の画像で気づくことは、画像が、(n+1)個の、ほぼ同一な画像で構成されていることだ。
なぜ、そうなるのか？
それについての検討は、この記事の脚注で示す。
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脚注：『(Z^n)*sinZ+C (C：実数) 画像は、N-loop入力範囲(|Xi|,|Yi|)が小さい領域では、
同一な、(n+1)個の画像から構成される』ことの概略証明。
まず、上記条件下では、sinZ→Z となることを示す。
ガウス座標上の点Zを、Z=X+iY とする。ここで、X,Y は実数とする。
sinZ=coshY*sinX+i(sinhY*cosX) ・・・・・(1)
ここで、X, Y を充分小さいとすれば、
sinX=X-(X^3/3!)+(X^5/5!)-・・・・・→X
cosX=1-(X^2/2!)+(X^4/4!)-・・・・・→1
e^Y=1+Y+(Y^2/2!)+・・・・・→1+Y
e^(-Y)=1-Y+(((-Y)^2)/2!)+・・・→1-Y
coshY=((e^Y+e^(-Y))/2 →1
sinhY=((e^Y-e^(-Y))/2 →Y
従って、(1)より
sinZ→1*X+i(Y*1)=X+iY=Z
となる。
従って、 N-loop入力範囲(|Xi|,|Yi|)が小さい領域では、
(Z^n)*sinZ→(Z^n)*n=Z^(n+1)
となる。
従って、以前、証明したことにより、『(Z^n)*sinZ+C (C：実数) 画像は、
N-loop入力範囲(|Xi|,|Yi|)が小さい領域では、同一な、(n+1)個の画像から構成される』ことになる。
